A斯塔克尔伯格模型

在有些市场，竞争厂商之间的地位不是对称的，市场地位的不对称引起了决策次序的不对称，通常，小企业先观察到大企业的行为，再决定自己的对策。主导企业知道跟随企业一定会对它的产量作出反应，因而当它在确定产量时，把跟随企业的反应也考虑进去了。

产量的决策依据以下次序：领导性厂商决定一个产量，然后跟随厂商可以观察这个产量，并根据领导性厂商的产量来决定他自己的产量。

领导性厂商所决定的产量将是一个以跟随厂商的反应函数为约束的利润最大化产量。在斯塔克尔伯格模型中，领导性厂商的决策不再需要自己的反应函数。

一、模型分析

设市场需求函数为 \(D=D(p_1+p_2)=a-b(p_1+p_2)\)，其中 \(p_1\) 和 \(p_2\) 分别是两个厂商的产量。

假设两厂商的成本函数相同，都为 \(C=c_0p\)

步骤1：首先考虑在给定厂商的1的计划产量下，厂商2寻求使自己利润最大化的最有产量\(p_2\)，即：

\(maxp_2[a-b(p_1+p_2)]-cp_2\)，

显然 \(p_2=g(p_1)\)

步骤2：接下来，求解 \(maxp_1=[a-b（p_1+p_2）]-cp_1\)

得到 \(p_1\) ，代入 \(p_2=g(p_1)\) 得到 \(p_2\)

于是得到斯塔克尔伯格均衡时的 \((p_1,p_2)\)

二、应用实例

设市场需求函数为 \(D=61.2-10\times(p_1+p_2)\) ，两厂商的成本函数都为 \(C=1.2p\)，求斯塔克尔伯格均衡时两厂商的产量。（厂商1为领导者，厂商2为跟随者）

解：步骤1，求解如下优化模型：

\(maxp_2[61.2-10\times(p_1+p_2)]-1.2p_2\)

得到 \(p_2=\frac{61.2-10p_1}{11.2}\)

步骤2，求解下列优化模型：

\(maxp_1[61.2-10(p_1+p_2)]-1.2p_1, s.t.p_2=\frac{61.2-10p_1}{11.2}\)

得到结果 \(p_1\approx3,p_2\approx1.5\)

matlab代码：

clear
clc

syms x z;
y2=-x*(61.2-10*(x+z))+1.2*x;
eq=diff(y2,x);
p2=solve(eq,x);

y1=-z*(61.2-10*(z+p2))+1.2*z;
vdpf = matlabFunction([y1],'Vars',{z}); 
%将符号表达式转化为函数句柄!!!
[p1,fval1]=fminsearch(vdpf,0);
p2=subs(p2,'z',p1);
[p1,p2]

运行结果：